九子各得(구자각득)을 현대 수학으로 읽기: 45개의 수, 5개의 궁, 그리고 92

팔자각득에 이어 이번에는 구자각득(九子各得)을 똑같이 현대 수학 언어로 풀어본다. 구자각득은 각 궁에 9자씩, 총 45개의 수를 배치한 도상이다.

1. 구자각득의 기본 검산

5개 궁에 1부터 45까지의 수를 9자씩 배치한다.

        상궁
          │
좌궁 ─── 중궁 ─── 우궁
          │
        하궁

궁	9자	합
상궁	12, 44, 9, 19, 21, 29, 37, 2, 34	207
좌궁	13, 43, 8, 18, 25, 26, 38, 3, 33	207
중궁	15, 41, 6, 16, 23, 30, 40, 5, 31	207
우궁	14, 42, 7, 17, 24, 28, 39, 4, 32	207
하궁	11, 45, 10, 20, 22, 27, 36, 1, 35	207

1부터 45까지의 합은 1035이고, 5 × 207 = 1035이다. 즉 1035를 5등분한 구조다.

2. 각 궁은 3×3 Grid다

팔자각득이 각 궁을 중심을 비운 8자로 채웠다면, 구자각득은 중심까지 포함한 9자로 채운다. 따라서 각 궁은 3×3 Grid 그래프가 된다.

• 9개 노드
• 12개 엣지
• 최소 사이클 길이 4
• 여러 개의 4-Cycle 포함

전체적으로 볼 때, 5개 궁 사이에는 12개의 궁 간 엣지가 있어 중궁을 중심으로 하나의 연결 그래프가 된다.

3. 207은 어디서 나오는가

1부터 45까지를 mod 5로 나누면 다음과 같다.

오행	수들	합
수(水)	1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41	189
화(火)	2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42	198
목(木)	3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43	207
금(金)	4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44	216
토(土)	5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45	225

오행별 합이 189, 198, 207, 216, 225로 9씩 증가한다. 207은 목(木) 그룹의 합이다.

하지만 구자각득에서 어느 궁 하나가 목 그룹 전체로만 이루어진 것은 아니다. 대신 모든 궁의 합이 목 그룹의 합(207)으로 통일되어 있다. 이는 서로 다른 오행 조합으로도 같은 합을 만들어내는 설계다.

4. 92라는 불변량

각 궁의 9자를 모서리 4개 수, 변의 중점 4개 수, 중심 1개 수로 나누면 놀라운 사실이 드러난다.

궁	모서리 합	변의 중점 합	중심	합계
상궁	92	94	21	207
좌궁	92	90	25	207
중궁	92	92	23	207
우궁	92	91	24	207
하궁	92	93	22	207

모든 궁의 모서리 4개 수의 합이 92로 같다. 이것이 구자각득의 가장 강력한 위치 불변량이다.

변중점 합은 90, 91, 92, 93, 94로 1씩 증가하고, 중심값은 21, 22, 23, 24, 25로 연속된 정수다. 중심값과 변중점 합을 더하면 모두 115이 되어, 모서리 92와 합쳐 207이 된다.

5. 중심값에 숨겨진 mod 5

중심값 21, 22, 23, 24, 25를 mod 5로 본다.

• 21 → 수(水)
• 22 → 화(火)
• 23 → 목(木)
• 24 → 금(金)
• 25 → 토(土)

즉 5개 궁의 중심값이 수·화·목·금·토 오행을 정확히 한 번씩 나타낸다. 현재 구자각득은 M0 = 3(목)에 해당하므로, 중궁의 중심값이 23(목)이다.

6. 그래프 이론적으로 남는 것

• 노드 수: 45
• 엣지 수(궁 낶부만): 60
• 엣지 수(전체 격자): 72
• 연결 성분(궁 낶부만): 5
• 연결 성분(전체 격자): 1
• 최소 사이클 길이: 4

Betweenness centrality에서는 중궁의 중심 23이 가장 높게 나온다. 3×3 Grid의 중심이면서 4방향 연결의 중심이기 때문에, 외곽 궁 간 최단 경로의 상당수가 23을 지난다.

오행 간 엣지 관계로 볼 때는 상극 엣지가 40.3%로 가장 많다. 구자각득 역시 팔자각득처럼 긴장·제약 관계를 강조하는 구조다.

7. 일반화 가족

원본 코드에는 M0에 따른 일반화 가족이 기록되어 있다.

M0	궁 합
1	189
2	198
3	207
4	216
5	225

M0가 1 증가할 때마다 궁 합이 9씩 증가한다. 현재 구자각득은 M0 = 3에 해당한다.

8. 결론

구자각득은 45개의 수를 가지고 만든 또 다른 정교한 조합 구조다. 핵심은 다음과 같다.

• 5개 궁은 각각 3×3 Grid 그래프.
• 중궁 중심 23이 전체 그래프의 위상적 중심.
• 모든 궁의 모서리 4자 합이 92로 불변.
• 변중점 합은 90, 91, 92, 93, 94.
• 중심값 21~25가 모든 오행을 커버.
• 각 궁 합 207은 M0 = 3(목)에 해당.

팔자각득이 8-Cycle의 교차 구조였다면, 구자각득은 3×3 Grid의 교차 구조다. 중심이 채워졌다는 차이가 전체 위상과 불변량에 큰 영향을 준다.