낙서사구도 주석을 조합론으로 읽기: 20개의 수, 9개의 궁, 그리고 합 42

고전 수학 그림을 볼 때 가장 먼저 조심해야 할 일은 그림을 현대식 도형으로 너무 빨리 바꾸지 않는 것이다. 특히 낙서사구도(洛書四九圖)처럼 수, 오행, 방위, 선분이 한꺼번에 들어간 그림은 겉보기에는 상징도처럼 보이지만, 실제로는 꽤 엄격한 조합 구조를 품고 있다.

이번 글에서 다룰 대상은 1부터 20까지의 수가 배치된 낙서사구도 그래프다. 이 그래프는 20개의 정점과 24개의 선분으로 되어 있고, 전체 모양은 3×2 사각형 구조로 보는 편이 가장 자연스럽다. 각 면은 6개의 정점으로 둘러싸인 6-cycle이고, 네 면은 가운데의 네 정점 5, 16, 10, 11을 공유한다.

이 글의 핵심은 그래프 자체보다도, 원문 옆에 붙어 있는 다음 주석이다.

鄰星相兼五宫化 爲九宫每宫四子 各得四十二數
此即河圖四五画 右旋者 互化則一千八百九十數

한문으로는 짧지만, 여기에는 꽤 구체적인 계산 절차가 들어 있다. 현대 조합론 용어로 풀면 다음과 같다.

1. 그래프는 무엇인가

먼저 그림을 그래프로 읽자. 정점은 1부터 20까지의 수이고, 선분은 정점 사이의 인접 관계다. 교정된 그래프의 네 면은 다음 네 개의 6-cycle이다.

위치	사이클	합
NW	19, 2, 14, 5, 16, 7	63
NE	17, 4, 16, 10, 12, 9	68
SW	5, 18, 3, 13, 8, 11	58
SE	10, 6, 1, 20, 15, 11	63

여기서 네 면을 "4개 육각형"이라고만 부르면 모양은 맞지만 구조감이 덜 살아난다. 실제 그림의 감각은 3×2 사각형 구조에 가깝고, 네 개의 면이 가운데 공유 정점들을 통해 이어진다고 보는 편이 낫다.

이 그래프에는 눈에 띄는 두 사이클이 있다.

첫째, 바깥쪽에는 모든 정점을 한 번씩 지나는 20-cycle이 있다.

19 → 2 → 14 → 5 → 18 → 3 → 13 → 8 → 11 → 15
→ 20 → 1 → 6 → 10 → 12 → 9 → 17 → 4 → 16 → 7 → 19

둘째, 가운데에는 공유 정점 네 개가 만드는 4-cycle이 있다.

5 → 16 → 10 → 11 → 5

이 내장 4-cycle의 합은 42다. 이 42가 뒤에서 주석 전체를 관통하는 수가 된다.

2. 오행은 mod 5 분류다

원문 계열의 기본 분류는 익숙한 문장으로 요약된다.

一六水 二七火 三八木 四九金 五十土

현대적으로 쓰면 1부터 20까지의 수를 mod 5 잉여류로 나눈 것이다.

오행	수들	합
수(水)	1, 6, 11, 16	34
화(火)	2, 7, 12, 17	38
목(木)	3, 8, 13, 18	42
금(金)	4, 9, 14, 19	46
토(土)	5, 10, 15, 20	50

합이 34, 38, 42, 46, 50으로 4씩 증가한다. 전체 합은 210이고, 다섯 그룹의 평균은 42다.

즉 42는 우연히 나온 수가 아니다. 전체 20개 수를 5개의 4원소 집합으로 나눴을 때 평균 합이 42이고, 낙서사구도의 주석은 이 평균값을 실제 9개의 궁 모두에서 실현하는 재배열을 말하고 있다.

3. "五宫化 爲九宫": 5개 분류가 9개 블록이 된다

주석의 첫 구절은 이렇다.

鄰星相兼五宫化 爲九宫每宫四子 各得四十二數

직역하면 "이웃한 별들이 서로 겸하여, 오궁이 변해 구궁이 되고, 각 궁마다 네 자를 얻어 모두 42의 수가 된다" 정도다.

조합론적으로는 이렇게 읽을 수 있다.

1. 처음에는 5개의 오행 그룹, 즉 5개의 residue class가 있다.
2. 이들을 다시 조합해 9개의 block을 만든다.
3. 각 block은 정확히 4개의 원소를 가진다.
4. 9개 block의 합은 모두 42다.

실제로 9궁을 쓰면 다음과 같다.

궁	4개의 수	합
NW	19, 2, 14, 7	42
N	19, 17, 2, 4	42
NE	17, 4, 12, 9	42
W	14, 7, 18, 3	42
C	5, 16, 10, 11	42
E	9, 12, 6, 15	42
SW	18, 3, 13, 8	42
S	13, 8, 20, 1	42
SE	6, 1, 20, 15	42

여기서 중요한 점은 9궁이 임의의 해석이 아니라는 것이다. 네 모서리 궁은 3×2 사각형 구조의 네 면에서 바깥쪽 네 정점을 취한 것이고, 중앙 궁은 그래프 가운데의 4-cycle, 즉 5, 16, 10, 11이다. 나머지 네 변 궁은 인접한 영역의 수들을 함께 취해 만든다.

4. "鄰星相兼": 이웃 block의 overlap

"鄰星相兼"은 문자 그대로는 이웃 별이 서로 겸한다는 말이다. 현대 조합론으로 옮기면 “인접한 block들이 서로 일부 원소를 공유한다”는 뜻에 가깝다.

예를 들어 NW와 N은 다음과 같다.

NW = {19, 2, 14, 7}
N  = {19, 17, 2, 4}

두 block의 교집합은 {19, 2}다. 즉 서로 독립된 네 원소 집합이 아니라, 이웃한 궁들이 두 원소를 공유하면서 3×3 구조를 만든다.

이 관점에서 9궁은 단순한 표가 아니라, block들의 overlap 구조다. 각 block은 네 원소를 가지고, 이웃 block과 일부 원소를 공유하며, 그럼에도 모든 block의 합은 42로 유지된다.

이것이 "各得四十二數"의 수학적 핵심이다.

5. "右旋": 회전 작용으로 읽기

다음 구절은 이렇다.

此即河圖四五画 右旋者

河圖의 4와 5의 구조가 우회전한다는 말이다. 여기서 "右旋"은 9궁의 경계 block들이 중앙을 기준으로 시계방향 순환을 이룬다는 식으로 읽을 수 있다.

경계의 8개 block을 순서대로 쓰면 다음과 같다.

NW → N → NE → E → SE → S → SW → W → NW

중앙 block C는 고정되어 있고, 나머지 8개 block이 둘레를 돈다. 현대적으로는 경계 block 위의 cyclic permutation, 즉 순환 작용으로 볼 수 있다.

이 해석이 중요한 이유는, 원문이 단순히 9칸 표를 말하는 것이 아니라 "어떤 방향으로 전개되는가"까지 말하고 있기 때문이다. 낙서사구도의 선분 구조, 3×2 사각형 배치, 그리고 9궁 block 구조가 같은 방향성을 공유한다.

6. "互化則一千八百九十數": 1,890은 어디서 나오는가

마지막 구절은 가장 계산적이다.

互化則一千八百九十數

互化를 5궁과 9궁 사이의 상호작용으로 읽으면 계산은 간단하다.

5궁 × 9궁 = 45
45 × 42 = 1,890

즉 5개의 오행 분류와 9개의 block 사이의 모든 조합을 세면 45개가 되고, 각 조합에 공통 가중치 42를 부여하면 1,890이 된다.

여기서 42는 앞서 본 block sum invariant다. 따라서 1,890은 따로 붙인 상징수가 아니라, "5분류와 9블록의 incidence product에 42라는 불변량을 곱한 값"으로 읽을 수 있다.

7. 그래프 이론적으로 남는 것

그래프 이론 관점에서 이 낙서사구도는 다음 특징을 가진다.

• 정점 수: 20
• 엣지 수: 24
• 차수 4 정점: 5, 10, 11, 16
• 나머지 16개 정점: 차수 2
• 최소 사이클 길이: 4
• 외곽 Hamiltonian cycle 존재
• 중앙 4-cycle의 합: 42

여기서 끝내기에는 아까운 몇 가지가 더 있다.

7.1 연결성과 거리

이 그래프에는 다리(bridge)도, 절단점(articulation point)도 없다. 즉, 어느 한 선분이나 한 정점을 없애도 전체 그래프는 끊어지지 않는다. 지름은 6, 반지름은 4, 평균 최단 거리는 3.2다. 20개 정점이 24개 선분으로 연결된 것 치고는 꽤 촘촘한 편이다.

7.2 세 가지 중심성이 한 데 모이다

사이 관계뿐 아니라 근접 중심성와 고유벡터 중심성까지 세 가지 지표가 모두 5, 10, 11, 16에서 동일한 최고값을 기록한다. betweenness 0.370, closeness 0.432, eigenvector 0.411. 세 가지 정의가 전혀 다른데 같은 정점에서 같은 값이 나오는 것은 우연이 아니다. 이 네 정점이 실제로 네 면을 연결하는 관문 역할을 한다는 뜻이다.

7.3 사이클의 완전한 열거

모든 단순 사이클을 세면 총 20개다.

길이	개수	합의 특징
4	1	5-16-10-11, 합 42
6	4	4개 면, 합 58/63/63/68
8	4	모두 합 84 (= 42x2)
12	6	다양한 면의 결합

길이 8 사이클 4개의 합이 모두 84로 똑같다. 이것은 각각이 한 면의 일부와 내장 4-Cycle을 합쳐 만든 것이기 때문이다. 10과 같은 홀수 길이 사이클은 하나도 없다.

7.4 이분 그래프

사이클 길이가 모두 짝수인 이유는 단순하다. 낙서사구도 그래프는 이분 그래프(bipartite graph)이기 때문이다. 즉, 정점을 두 색으로 칠하면 인접한 정점이 항상 다른 색이 되도록 할 수 있다. 그리디 컬러링으로도 2색이면 충분하다. 원문의 상극/상생 이항 대립이 그래프 구조에도 그대로 반영된 셈이다.

7.5 Laplacian 스펙트럼

인접행렬 고유값의 범위는 약 [-2.861, 2.861]이고, Laplacian의 두 번째 고유값(Fiedler value)은 0.2786이다. Fiedler 값은 그래프가 얼마나 "단단하게" 연결되어 있는지를 재는데, 이 값은 외곽 20-Cycle이 전체를 느슨하게 연결하고 있음을 보여준다.

오행 관계로 본면 상생보다 상극 엣지가 훨씬 많이 나타난다. 이는 이 그림이 조화로운 분류표라기보다, 서로 제약하고 교차하는 관계를 선분으로 드러낸 구조라는 점을 보여준다.

8. 면의 쌍대 구조와 확장

8.1 Dual graph

3x2 사각형 구조의 4개 면을 정점으로 보고, 두 면이 공유하는 정점을 가중치로 두면 dual graph가 된다. NW-NE는 16을, NW-SW는 5를, NE-SE는 10을, SW-SE는 11을 공유한다. 이 dual graph의 4-cycle 가중치 합은 5+16+10+11=42로, 원본의 내장 4-Cycle 합과 같다.

8.2 120子作 확장

원문 주석에 "120子作"이 언급되는데, 이는 20노드 원본을 6개 복제체로 순환 배치한 구조로 해석할 수 있다. 각 복제체는 원본에 20k를 더한 것이고, 인접한 복제체는 공유 정점 5+20k, 10+20k, 11+20k, 16+20k를 통해 연결된다. 총 노드는 120개, 총 엣지는 168개, 전체 수 합은 2460이 된다.

8.3 兩木相摩와 SW 면

원문 "兩木相摩"는 SW 면에서 구체적으로 확인된다. SW 면의 6개 정점 중 4개(3, 8, 13, 18)가 목(木) 그룹에 속한다. 즉, "두 목이 마찰한다"는 표현은 한 면에 목 그룹이 집중 배치된 조합 설계를 가리키는 것이다.

9. 결론: 주석은 계산법이다

이 주석은 장식적인 설명이 아니다.

鄰星相兼五宫化 爲九宫每宫四子 各得四十二數
此即河圖四五画 右旋者 互化則一千八百九十數

현대적으로 다시 쓰면 다음과 같다.

20개의 수를 먼저 5개의 residue class로 나눈다.
이웃한 부분집합의 overlap을 이용해 9개의 4-block으로 재구성한다.
모든 block의 합은 42로 같고, 경계 block들은 시계방향 순환 구조를 이룬다.
5분류와 9block의 모든 조합 45개에 공통 불변량 42를 곱하면 1,890이 된다.

낙서사구도의 흥미로운 점은 바로 여기에 있다. 겉으로는 오행과 구궁의 언어를 쓰지만, 실제로는 부분집합, 교집합, 불변합, 순환 작용, incidence count 같은 현대 조합론의 언어로도 꽤 정확하게 번역된다.

이런 식으로 읽으면 고전 도상은 더 이상 막연한 상징표가 아니다. 그것은 20개의 수를 가지고 만든 작은 조합론 장치이고, 원문 주석은 그 장치의 작동 설명서에 가깝다.